La Regla de Ruffini
Matemáticas

¿Cuál es la regla de Ruffini?

En álgebra, para resolver ecuaciones de tercer grado o superior usamos la Regla de Ruffini. Pero si al momento de estudiar o presentar una prueba tenemos que resolver un ejercicio usando este método y, además sin haber entendido claramente cuando tu profesor lo hizo en clase n veces…

¿Cómo empezamos? La Regla de Ruffini es muy fácil y sencilla. Aquí te explicaremos en qué consiste y cómo aplicarlo. También te incluimos algunos ejercicios resueltos paso a paso para que comprendas mejor la aplicación de la Regla de Ruffini. Pero antes … ¿sabes por qué se llama así?

¿Quién era Ruffini?

Paolo Ruffini fue un matemático, médico, filósofo y profesor italiano nacido en 1765 en Valentano, una ciudad del norte de Italia (antiguamente Estados Papales).

Se destacó por ser un gran matemático y profesor. Trabajó muchos años como docente en la Universidad de Módena (desde 1788) hasta llegar a ocupar el puesto de Rector de dicha casa de estudios. Fue expulsado de esta universidad por negarse a aceptar el juramento de lealtad hacia Napoleón Bonaparte en su proceso de conquista a la ciudad italiana. Años más tarde (en 1799) fue nuevamente readmitido.

Paolo Ruffini

Es a Paolo Ruffini que se le da la autoría de ser el que descubriera en 1809 el método para hallar los coeficientes al dividir un polinomio entre un binomio de la forma (x-a) conocido hoy en día como la Regla de Ruffini. Falleció en la ciudad de Módena a los 56 años de edad. En su haber nos dejó un valioso aporte a la matemática que quedó publicado en varios libros sobre el tema de las ecuaciones. En medicina aportó su experiencia para el estudio de la enfermedad del tifus.

¿Qué es la Regla de Ruffini?

Antes que todo es muy importante dejar en claro que la Regla de Ruffini se aplica sólo para ecuaciones que son mayores a ecuaciones de 2do grado; es decir de 3er grado o superior.

Recordemos que, para ecuaciones de primer grado existe una manera de resolverse que es muy sencilla, para las ecuaciones de 2do grado contamos con una fórmula y de alguna manera podemos decir que para estos dos casos es muy fácil resolverlas, pero cuando se trata de ecuaciones superiores a una de 2do grado (entiéndase 3er grado, 4to grado, …), no contamos con fórmulas entonces aplicamos la Regla de Ruffini.

A la Regla de Ruffini también se le conoce como división sintética o método Ruffini Horner.

Aplicando la Regla de Ruffini podemos:

  • Resolver ecuaciones de 3er grado o superior.
  • Factorizar un polinomio (por supuesto de 3er grado o superior).
  • Dividir un polinomio de 3er grado o superior entre un binomio de la forma (x-a).
  • Determinar las raíces de un polinomio de 3er grado o superior.

¿Cuál es la regla?

La Regla de Ruffini consiste en que debemos escoger una “posible” raíz y con ella desarrollar una especie de tabla o gráfico de líneas perpendiculares. Al final, sabremos que el ejercicio se ha resuelto correctamente y la raíz es correcta si el último resultado es cero (0). De no obtener cero (0) en el resultado final significará que debemos probar con otra raíz hasta que su resultado nos de cero (0) y podamos así factorizar.

La raíz que debemos escoger tiene que ser uno de los divisores del término independiente del polinomio. Debes tener claro que el término independiente es aquel que no tiene parte literal.

Ejercicio de ejemplo aplicando la Regla de Ruffini

Te damos este ejercicio de ejemplo para explicarte paso a paso el proceso de la división de un polinomio entre un binomio de la forma (x-a).

1º Aplicamos la Regla de Ruffini en este ejercicio de división de polinomios para determinar el cociente y el resto.

1ª Regla de Ruffini

2º Como habrás observado estamos frente a un caso de polinomio de grado 3.

3º Si no tenemos coeficientes de algún grado completamos con cero (0). En nuestro ejemplo no hará falta ya que el polinomio está completo.

4º Se trazan dos líneas perpendiculares de la manera siguiente:

4ª Regla de Ruffini

5º Del lado derecho superior escribimos los coeficientes del dividendo en forma ordenada de izquierda a derecha (desde su grado mayor hasta el término independiente).

5ª Regla de Ruffini

6º En la parte izquierda superior y muy cerca de la línea inferior escribimos el divisor. En nuestro caso el término independiente del divisor es -1 (x-1). Tomaremos como posibles raíces 1 y -1. Escogemos el valor con signo positivo.

6ª Regla de Ruffini

7º Empezamos a aplicar la Regla de Ruffini escribiendo en la parte inferior derecha de la línea horizontal el primer valor de arriba que corresponde el coeficiente de mayor valor. En nuestro caso es el 3.

7ª Regla de Ruffini

8º Luego multiplicamos el valor del número que bajamos (en nuestro caso el 3) por el divisor (1) y lo escribimos debajo del segundo número (13).

8ª Regla de Ruffini

9º Hacemos la suma de los coeficientes de la segunda columna 13 + 3 el resultado le escribimos en la parte inferior de esa columna.

9ª Regla de Ruffini

10º Multiplicamos el último resultado obtenido por nuestro divisor (1) nuevamente.

10ª Regla de Ruffini

11º Sumamos los coeficientes de la tercera columna -13 + 16. En nuestro caso el resultado es 3.

11ª Regla de Ruffini

12º Repetimos el proceso multiplicando el último número obtenido (el 3) por nuestro divisor 1. El resultado es 3.

12ª Regla de Ruffini

13º Sumamos los coeficientes 2 + 3. En nuestro caso el resultado de la suma es igual a 5.

13ª Regla de Ruffini

14º Finalmente, aplicada la Regla de Ruffini, tenemos el resultado.

14ª Regla de Ruffini

15º Tenemos el resultado.

15ª Regla de Ruffini

Como te habrás dado cuenta el cociente resultante es de un grado menor al del dividendo. Nuestro dividendo era de grado 3 y el cociente resultante es de grado 2. El resto siempre va a ser un número.

En el caso que el resto nos de igual a cero (0), entonces podremos factorizar el polinomio.

Ejemplo cuando debemos factorizar

Veamos a continuación otro ejemplo en el que el último número en el cociente va a ser igual a cero (0) y procedemos a factorizar el polinomio.

1º Se nos pide que factoricemos el siguiente polinomio de grado 4.

1ª Factorizar Regla de Ruffini

2º Identificamos los coeficientes del polinomio que es de 4º grado. No hace falta completar con cero ya que el ejercicio tiene todos los coeficientes.

2ª Factorizar Regla de Ruffini

3º Se determinan los divisores del término independiente del polinomio que es 8:  1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8.

4º Procedemos a realizar la división utilizando el método que realizamos en el ejercicio anterior. Primero copiamos los coeficientes en la parte superior derecha. En la parte izquierda probamos con uno de los divisores. En nuestro caso, escogemos el 1. El coeficiente de mayor grado del polinomio se baja y lo escribimos en la parte inferior derecha.

4ª Factorizar Regla de Ruffini

5º Procedemos a dividir. Multiplicamos el primer coeficiente que bajamos por el divisor. El resultado lo escribimos debajo del segundo coeficiente.

5ª Factorizar Regla de Ruffini

6º Repetimos el proceso con cada uno de los demás coeficientes hasta obtener cero (0) en el resultado del último coeficiente.

6ª Factorizar Regla de Ruffini

7º Nuevamente hacemos la división con el polinomio cociente obtenido que es

7ª Factorizar Regla de Ruffini

El divisor que seleccionaremos esta vez es el 2.

7ª Factorizar Divisor 2 Regla de Ruffini

8º El nuevo resultado nos queda así:

8ª Factorizar Regla de Ruffini

9º Volvemos nuevamente a hacer la división con nuestro último resultado que es el polinomio cociente. Escogemos una vez más otro divisor. Ahora probamos con -2.

9ª Factorizar Regla de Ruffini

10º Ya casi finalizamos la factorización. Hacemos la división del nuevo cociente. Probamos nuevamente con -2 y nos queda así:

10ª Factorizar Regla de Ruffini

11 Finalmente procedemos a factorizar.

11ª Factorizar Regla de Ruffini

¿Cómo determinar las raíces?

Para saber cuáles son las raíces debemos seleccionar los divisores del término independiente. En nuestro primer ejemplo, el término independiente era -1. Los divisores de -1 son: 1 y -1. En el segundo ejemplo el término independiente es -8. Los divisores de -8 son: 1, -1, 2, -2, 4, -4, 8 y -8.

Esperemos que esta demostración que hemos realizado te sirva de apoyo y que hayas podido aclarar las dudas que tenías sobre la Regla de Ruffini. No olvides que con la práctica de este método podrás volverte un experto así que no te quedes solamente con estas demostraciones. hasta la próxima.

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